Lie Cebiroidleri Üzerindeki Lagrange Dinamiğinin Eşlenmesi Problemi Üzerine

Esen, Oğul; Sütlü, Serkan; KAYA, HANİFE KÜBRA

doi:10.19113/sdufenbed.812588

Lie Cebiroidleri Üzerindeki Lagrange Dinamiğinin Eşlenmesi Problemi Üzerine

Oğul ESEN, (Gebze Teknik Üniversitesi, Temel Bilimler Fakültesi, Matematik Bölümü, Kocaeli, Türkiye)

Hanife Kübra KAYA, (Gebze Teknik Üniversitesi, Temel Bilimler Fakültesi, Matematik Bölümü, Kocaeli, Türkiye)

Serkan SÜTLÜ (Işık Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, İstanbul, Türkiye)

Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi

6 0

Yıl: 2021 Cilt: 25 Sayı: 2 Sayfa Aralığı: 162 - 171 Metin Dili: Türkçe DOI: 10.19113/sdufenbed.812588 İndeks Tarihi: 29-07-2022

Lie Cebiroidleri Üzerindeki Lagrange Dinamiğinin Eşlenmesi Problemi Üzerine

Öz:

Lie cebiroidleri, bir anlamda tanjant demetini ve Lie cebiri yapısını beraberihtiva eden ve fakat daha genel olan geometrik inşaalardır. Lagrange dinamiğininen genel ifadesi Lie cebiroidleri üzerinde mümkündür. Bu makalede, karşılıklı (Liecebiroidi üzerinde tanımlı) etki içindeki iki Lagrange dinamiğinin beraberdavranışı, geometrik ve cebirsel bir yol ile elde edilecektir. Bu bakış açısı ileetkileşim, Lie cebiroidlerinin birbirleri üzerine olan lineer temsilleri (etkileri) ifadeedilecektir. Böylece, belirli uyumluluk şartını sağlayan karşılıklı etki içindeki iki Liecebiroidinin eşlenmesi, diğer bir ifade ile tek bir Lie cebiroidi olarak yazılmasısağlanacaktır. Sonrasında ise eşlenmiş Lie cebiroidi üzerinde Lagrange dinamiğiyazılacaktır. Elde edilecek kollektif (eşlenmiş) hareket denklemleri, bireyseldavranışların gözlemlenmesinin yanı sıra karşılıklı etki terimlerinin debelirlenmesine olanak verecektir. Çalışmamız esnasında bir çok örnek sunularakteorik tanımların daha net anlatımı yakalanmaya çalışılacaktır

Anahtar Kelime: Lie Cebiroidi Euler-Lagrange denklemleri Lie Grupoidi

On The Problem of Matched Lagrangian Dynamics on Lie Algebroids

Öz:

Lie algebroids are geometric constructions generalizing both tangent bundles and Lie algebras. Lagrangian dynamics is possible on Lie algebroid frameworks in its most general form. In this work, we obtain the joint behaviour of two mutually interacting Lagrangian systems in a geometric and an algebraic way. Here, the interaction is decoded into linear representations (actions) of two Lie algebroids onto each other. By this means, mutally interacting two Lie algebroids those satisfying some certain compatibility condition are matched, in other words, they are recast as trivially intersecting Lie subalgebroids of a single Lie algebroid. Then, Lagrangian dynamics is recast on the matched Lie algebroid. In this framework, the equations involve both the dynamics of constitutive subsystems and the action terms. Along with the theory, we provide several examples.

Anahtar Kelime:

Belge Türü: Makale Makale Türü: Araştırma Makalesi Erişim Türü: Erişime Açık

[1] Abraham, R., Marsden, J. E., Marsden, J. E. 1978. Foundations of mechanics . Reading, Massachusetts: Benjamin/Cummings Publishing Company.
[2] Holm, D. D., Schmah, T., Stoica, C. 2009. Geometric mechanics and symmetry: from finite to infinite dimensions. Vol. 12. Oxford University Press.
[3] Yaremko, Y. 2000. The Tangent Groups of a Lie Group and Gauge Invariance in Lagrangian Dynamics. In Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. 30(2), 544-550.
[4] Marsden, J. E., Ratiu, T. S. 1995. Introduction to mechanics and symmetry. Physics Today, 48 (12), 65.
[5] Weinstein, A. 1996. Lagrangian mechanics and groupoids. Fields Institute Proc. AMS, 7, 207- 231.
[6] Martínez, E. 2001. Lagrangian mechanics on Lie algebroids. Acta Applicandae Mathematica, 67 (3), 295-320.
[7] Martínez, E. 2009. Lie algebroids and Mechanics. In AIP Conference Proceedings, American Institute of Physics, 1130(1), 3-33.
[8] Ratiu, T., Moerbeke, P. V. 1982. The Lagrange rigid body motion. In Annales de l'institut Fourier. 32(1), 211-234.
[9] Holm, D. D., Marsden, J. E., Ratiu, T. S. 1998. The Euler–Poincaré equations and semidirect products with applications to continuum theories. Advances in Mathematics, 137(1), 1-81.
[10] Esen, O., Sütlü, S. 2017. Lagrangian dynamics on matched pairs. Journal of Geometry and Physics, 111, 142-157.
[11] Esen, O., Sütlü, S. 2021. Discrete dynamical systems over double cross-product Lie groupoids. International Journal of Geometric Methods in Modern Physics. 18(04), 2150057.
[12] Mackenzie, K., Kirill, M., Mackenzie, K. C. 1987. Lie groupoids and Lie algebroids in differential geometry. Cambridge university press.
[13] Mokri, T. 1997. Matched pairs of Lie algebroids. Glasgow Mathematical Journal, 39(2), 167-181.
[14] Pradines, J. 1967. Theorie de Lie pour les groupoides differentiable. CR Acad. Sci. Paris, 264, 245-248.
[15] Crampin, M., Saunders, D. 2016. Cartan geometries and their symmetries: a Lie algebroid approach. Springer.
[16] Mackenzie, K. C., Mackenzie, K. C. 2005. General theory of Lie groupoids and Lie algebroids. Cambridge University Press.
[17] Marrero, J. C., de Diego, D. M., Martínez, E. 2006. Discrete Lagrangian and Hamiltonian mechanics on Lie groupoids. Nonlinearity, 19(6), 1313.
[18] Iglesias, D., Marrero, J. C., Martín de Diego, D., Martínez, E., Padrón, E. 2007. Reduction of symplectic Lie algebroids by a Lie subalgebroid and a symmetry Lie group. SIGMA. Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 3, 049.
[19] Cortés, J.,de Leon, M., Marrero, J. C., de Diego, D. M., Martinez, E. 2006. A survey of Lagrangian mechanics and control on Lie algebroids and groupoids. International Journal of Geometric Methods in Modern Physics, 3(03), 509-558.
[20] Mackenzie, K. C. 1992. Double Lie algebroids and second-order geometry, I. Advances in Mathematics, 94(2), 180-239.
[21] Brown, R. 1972. Groupoids as coefficients. Proceedings of the London Mathematical Society, 3(3), 413-426.
[22] Majid, S. 1990. Matched pairs of Lie groups associated to solutions of the Yang-Baxter equations. Pacific Journal of Mathematics, 141(2), 311-332.
[23] Majid, S. 2000. Foundations of quantum group theory. Cambridge university press.
[24] Higgins, P. J., Mackenzie, K. 1990. Algebraic constructions in the category of Lie algebroids. Journal of Algebra, 129(1), 194-230.
[25] Lu, J. H. 1997. Lie algebroids associated to Poisson actions. In Duke Math. J.
[26] Mackenzie, K. C. 1995. Lie algebroids and Lie pseudoalgebras. Bulletin of the London Mathematical Society, 27(2), 97-147.
[27] Martínez, E. 2015. Higher-order variational calculus on Lie algebroids. Journal of Geometric Mechanics, 7(1), 81-108.
[28] Esen, O., Kudeyt, M., Sütlü, S. 2021. Second order Lagrangian dynamics on double cross product groups. Journal of Geometry and Physics, 159, 103934.
[29] Esen, O., Sütlü, S. 2016. Hamiltonian dynamics on matched pairs. International Journal of Geometric Methods in Modern Physics, 13(10), 1650128.

APA	Esen O, KAYA H, Sütlü S (2021). Lie Cebiroidleri Üzerindeki Lagrange Dinamiğinin Eşlenmesi Problemi Üzerine. , 162 - 171. 10.19113/sdufenbed.812588
Chicago	Esen Oğul,KAYA HANİFE KÜBRA,Sütlü Serkan Lie Cebiroidleri Üzerindeki Lagrange Dinamiğinin Eşlenmesi Problemi Üzerine. (2021): 162 - 171. 10.19113/sdufenbed.812588
MLA	Esen Oğul,KAYA HANİFE KÜBRA,Sütlü Serkan Lie Cebiroidleri Üzerindeki Lagrange Dinamiğinin Eşlenmesi Problemi Üzerine. , 2021, ss.162 - 171. 10.19113/sdufenbed.812588
AMA	Esen O,KAYA H,Sütlü S Lie Cebiroidleri Üzerindeki Lagrange Dinamiğinin Eşlenmesi Problemi Üzerine. . 2021; 162 - 171. 10.19113/sdufenbed.812588
Vancouver	Esen O,KAYA H,Sütlü S Lie Cebiroidleri Üzerindeki Lagrange Dinamiğinin Eşlenmesi Problemi Üzerine. . 2021; 162 - 171. 10.19113/sdufenbed.812588
IEEE	Esen O,KAYA H,Sütlü S "Lie Cebiroidleri Üzerindeki Lagrange Dinamiğinin Eşlenmesi Problemi Üzerine." , ss.162 - 171, 2021. 10.19113/sdufenbed.812588
ISNAD	Esen, Oğul vd. "Lie Cebiroidleri Üzerindeki Lagrange Dinamiğinin Eşlenmesi Problemi Üzerine". (2021), 162-171. https://doi.org/10.19113/sdufenbed.812588

APA	Esen O, KAYA H, Sütlü S (2021). Lie Cebiroidleri Üzerindeki Lagrange Dinamiğinin Eşlenmesi Problemi Üzerine. Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, 25(2), 162 - 171. 10.19113/sdufenbed.812588
Chicago	Esen Oğul,KAYA HANİFE KÜBRA,Sütlü Serkan Lie Cebiroidleri Üzerindeki Lagrange Dinamiğinin Eşlenmesi Problemi Üzerine. Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 25, no.2 (2021): 162 - 171. 10.19113/sdufenbed.812588
MLA	Esen Oğul,KAYA HANİFE KÜBRA,Sütlü Serkan Lie Cebiroidleri Üzerindeki Lagrange Dinamiğinin Eşlenmesi Problemi Üzerine. Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, vol.25, no.2, 2021, ss.162 - 171. 10.19113/sdufenbed.812588
AMA	Esen O,KAYA H,Sütlü S Lie Cebiroidleri Üzerindeki Lagrange Dinamiğinin Eşlenmesi Problemi Üzerine. Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi. 2021; 25(2): 162 - 171. 10.19113/sdufenbed.812588
Vancouver	Esen O,KAYA H,Sütlü S Lie Cebiroidleri Üzerindeki Lagrange Dinamiğinin Eşlenmesi Problemi Üzerine. Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi. 2021; 25(2): 162 - 171. 10.19113/sdufenbed.812588
IEEE	Esen O,KAYA H,Sütlü S "Lie Cebiroidleri Üzerindeki Lagrange Dinamiğinin Eşlenmesi Problemi Üzerine." Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi, 25, ss.162 - 171, 2021. 10.19113/sdufenbed.812588
ISNAD	Esen, Oğul vd. "Lie Cebiroidleri Üzerindeki Lagrange Dinamiğinin Eşlenmesi Problemi Üzerine". Süleyman Demirel Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 25/2 (2021), 162-171. https://doi.org/10.19113/sdufenbed.812588